Logika Matematika Diskrit · Pertemuan 1

Logika Proposisi & Operator Logika Dasar

Beban 3 SKS · 150 Menit · Modul Konsep Logika
Program Studi Sains & Teknologi Informasi

Edy Wihardjo

FSTI — ITS Mandala, Jember

01Proposisi & Nilai Kebenaran

02Operator Logika Dasar

03Penerjemahan Bahasa Alami

04Tabel Kebenaran & Latihan

1. Proposisi & Nilai Kebenaran

Definisi. Sebuah proposisi adalah kalimat deklaratif yang mempunyai tepat satu nilai kebenaran, yaitu Benar ($B$ atau $1$) atau Salah ($S$ atau $0$), tetapi tidak mungkin keduanya sekaligus.

Mana yang termasuk proposisi?

Kalimat	Proposisi?	Nilai
$2 + 3 = 5$	Ya	B
$7$ adalah bilangan prima	Ya	B
$4$ adalah bilangan ganjil	Ya	S
$x + 1 = 5$	Tidak — kalimat terbuka	—
Berapa nilai $x$?	Tidak — pertanyaan	—
Tutup pintunya!	Tidak — perintah	—

Catatan. Kalimat terbuka seperti $x + 1 = 5$ baru menjadi proposisi setelah variabel $x$ diberi nilai tertentu (misal $x = 4$ → bernilai B).

2. Operator Logika Dasar

$\neg$

Negasi — NOT

$\neg p$ : membalik nilai kebenaran $p$.

$\wedge$

Konjungsi — AND

$p \wedge q$ : benar hanya bila keduanya benar.

$\vee$

Disjungsi — OR

$p \vee q$ : salah hanya bila keduanya salah.

$\oplus$

Disjungsi Eksklusif — XOR

$p \oplus q$ : benar bila tepat satu benar.

Tabel Kebenaran Operator Dasar

$p$	$q$	$\neg p$	$p \wedge q$	$p \vee q$	$p \oplus q$
B	B	S	B	B	S
B	S	S	S	B	B
S	B	B	S	B	B
S	S	B	S	S	S

Perhatikan bedanya: $p \vee q$ inklusif (benar juga saat keduanya benar), sedangkan $p \oplus q$ eksklusif (benar hanya saat tepat satu benar).

3. Penerjemahan Bahasa Alami ke Notasi Logika

Diketahui proposisi:

$p$ : "Hari ini hujan."

$q$ : "Saya membawa payung."

$r$ : "Saya basah kuyup."

Klik “Tampilkan Langkah” untuk melihat jawaban baris per baris.

Soal 1

"Hari ini hujan dan saya membawa payung."

$$p \wedge q$$

Soal 2

"Hari ini tidak hujan, tetapi saya tetap membawa payung."

$$\neg p \wedge q$$

Kata “tetapi” secara logika sama dengan “dan”.

Soal 3

"Jika hari ini hujan dan saya tidak membawa payung, maka saya basah kuyup."

$$(p \wedge \neg q) \rightarrow r$$

“Jika … maka …” → implikasi $(\rightarrow)$.

4. Contoh Soal — Tabel Kebenaran Baris per Baris

Soal. Tunjukkan bahwa $p \oplus q \equiv (p \vee q) \wedge \neg(p \wedge q)$ dengan tabel kebenaran.

Baris 1

$p = B,\quad q = B$

$$(B \vee B) \wedge \neg(B \wedge B) = B \wedge \neg B = B \wedge S = \mathbf{S}$$ $$B \oplus B = \mathbf{S} \qquad \checkmark \text{ sama}$$

Baris 2

$p = B,\quad q = S$

$$(B \vee S) \wedge \neg(B \wedge S) = B \wedge \neg S = B \wedge B = \mathbf{B}$$ $$B \oplus S = \mathbf{B} \qquad \checkmark \text{ sama}$$

Baris 3

$p = S,\quad q = B$

$$(S \vee B) \wedge \neg(S \wedge B) = B \wedge \neg S = B \wedge B = \mathbf{B}$$ $$S \oplus B = \mathbf{B} \qquad \checkmark \text{ sama}$$

Baris 4

$p = S,\quad q = S$

$$(S \vee S) \wedge \neg(S \wedge S) = S \wedge \neg S = S \wedge B = \mathbf{S}$$ $$S \oplus S = \mathbf{S} \qquad \checkmark \text{ sama}$$

Rekapitulasi

$p$	$q$	$p \wedge q$	$\neg(p \wedge q)$	$p \vee q$	$(p \vee q) \wedge \neg(p \wedge q)$	$p \oplus q$
B	B	B	S	B	S	S
B	S	S	B	B	B	B
S	B	S	B	B	B	B
S	S	S	B	S	S	S

Dua kolom terakhir identik untuk semua baris, sehingga terbukti $p \oplus q \equiv (p \vee q) \wedge \neg(p \wedge q)$. $\blacksquare$

5. Soal Latihan

Soal. Diketahui $p = B$, $q = S$, dan $r = B$. Tentukan nilai kebenaran dari:

(a) $(\neg p \vee q) \wedge r$ (b) $p \rightarrow (q \vee \neg r)$ (c) $(p \oplus q) \vee \neg r$

Penyelesaian (a) $$(\neg p \vee q) \wedge r = (\neg B \vee S) \wedge B$$

$$= (S \vee S) \wedge B = S \wedge B$$

$$= \mathbf{S}$$

Penyelesaian (b) $$p \rightarrow (q \vee \neg r) = B \rightarrow (S \vee \neg B)$$

$$= B \rightarrow (S \vee S) = B \rightarrow S$$

$$= \mathbf{S}$$

Penyelesaian (c) $$(p \oplus q) \vee \neg r = (B \oplus S) \vee \neg B$$

$$= B \vee S$$

$$= \mathbf{B}$$